Но исключение потенциалов из уравнений (1.22) приводит к уравнениям, связывающим ЭДС источников с напряжениями на резистивных элементах, т.
е. к уравнениям, составленным на основании второго закона Кирхгофа.Таким образом, число независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно В — (У- 1).В качестве примера напишем уравнения, связывающие потенциалы узлов с токами и ЭДС для схемы рис. 1.14, а по ( 1.126):Сложив третье и четвертое уравнения и вычтя полученную сумму из первого, получимЕсли применим второй закон Кирхгофа (1.206) к контуру 1-4-2-1 (при обходе вдоль контура по направлению движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.Аналогичным путем можно получить уравнения для других контуров:для контура 1-3-2-1для котуpa 2-4-3-2Совместное решение любых пяти уравнений (1.21), (1.23) и (1.24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1.14, а. Если и результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное.При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимыми.
Контуры необходимо выбрать гак. чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров — возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется
Многофазной системой называется совокупность нескольких электрических цепей, в которых действуют ЭДС одной и той же частоты, отличающиеся друг от друга по фазе.
Если имеется m катушек, то получим m-фазную систему синусоидального тока. Наибольшее распространение получили трёхфазные (m=3) симметричные системы, дающие симметричные ЭДС и токи.
При симметрии векторов ЭДС: Суммы мгновенных значений ЭДС и токов также равны нулю: Схема трёхфазного генератора под нагрузкой изображена на рис. 2.28. На схеме изображены: А, В, С – начало фаз источника; X, Y, Z – концы фаз источника; а, в, с – начало фаз приёмника; x, y, z – концы фаз приёмника. В каждой фазе индуцируются ЭДС: В символическом виде запишем: Векторная диаграмма трёхфазной цепи представлена на рис.
2.29 Законы Кирхгофа применяют для анализа и расчета разветвленных сложных электрических цепей постоянного и переменного тока .
Они позволяют рассчитать электрические токи во всех ветвях. По найденным токам можно рассчитать падение напряжения, мощность и т.д.
Существует мнение, что “Законы Кирхгофа” нужно называть “Правилами Кирхгофа”, т.к.
они могут быть выведены из других положений и предположений. Данные правила не являются обобщением большого количества опытных данных. Они являются одной из форм закона сохранения энергии и потому относятся к фундаментальным законам природы.
В некоторых книгах пишут фамилию ученого Густава с буквой Х – Кирхгоф.
В некоторых изданиях пишут без буквы х – Киргоф. Первый закон Кирхгофа гласит, что в ветвях образующих узел электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю (токи входящие в узел считаются положительными, выходящие из узла отрицательными).
Пользуясь этим законом для узла A (рисунок 1) можно записать следующее выражение:
Рисунок 1 — Первый закон Кирхгофа I1 + I2 − I3 + I4 − I5 − I6 = 0. Попытайтесь самостоятельно применить первый закон Кирхгофа для определения тока в ветви.
Если в ветви протекает два контурных тока, то за положительный принимаем тот, направление которого совпадает с направлением истинного тока.
. Достоинством этого метода по отношению к предыдущему является то, что количество уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, уменьшается. К недостаткам можно отнести введение в расчеты фиктивных величин – контурных токов, через посредство которых находят истинные токи.
Метод узловых потенциалов Метод узловых потенциалов заключается в том, что сначала находят потенциалы всех узлов схемы, а потом по известным потенциалам, используя обобщенный закон Ома, определяют токи в ветвях.
Количество уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, определяется числом независимых узлов N = n – 1. Заземляем один из узлов. Как правило, заземляется узел, в котором сходится больше ветвей. Заземлим узел 3 (рис. 3.4), то есть полагаем
.
Выразим токи в ветвях через потенциалы.
. Здесь
Таким образом, токи I2 и I5 имеют направление противоположное изображённым на рисунке.Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений.
Его ещё называют вторым законом.При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.
Рис.
4. Иллюстрация второго правила КирхгофаФормулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.Формулировки уравнений общего характера:, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС.
При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей.
Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.
Рис. 4. Магнитные контуры цепейТо есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами:
.
Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).Второе правило, применяемое для вычисления
Главная » Основы электротехники На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях.
В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях. Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток.
Точки соединения ветвей образуют узлы.
Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток. Первое правило Кирхгофа Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда.
Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение. Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.
На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров.
Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы. Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура.
На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.
На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях.
Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов. Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая: Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки.
Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс».
При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.
Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными. Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».
Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой:
«Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными»
.
Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом.
Перейдём к его рассмотрению. Второе правило Киргхофа Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом. Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.
При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.
Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем. Формулировки уравнений общего характера: , где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно. Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей.
Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей.
Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров. Закон Кирхгофа для магнитной цепи Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.
В частности: ∑Ф=0. То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.
Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F:
«В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений»
.
Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).
Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока. Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров. При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».
Примеры расчета цепей Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4.
Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4).
Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными. Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.
На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи. Рассмотрим алгоритм решения на примере рис.
5. Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:
1 и 2.
1 и 3.
2 и 3.
Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а.
Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0. Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение.
I1R1 + I3 R3 = E1;
I2R2 + I3R3 = E2.
Решаем систему уравнений: Так как значения R и E известны (см.
рисунок 5), мы придём к системе уравнений: Решая эту систему, получим:
I1 = 1,36 (значения в миллиамперах).
I2 = 2,19 мА.;
I3 = 3,55 мА.
Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В.
Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3: E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях). Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.
Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными. Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей. Поделиться в социальных сетях
Метод законов кирхгофа Узловой ток – это расчетная величина, равная алгебраической сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к данному узлу, на проводимости этих ветвей.
Если ЭДС направлена к узлу, то произведение берётся со знаком «+», а если от узла – то со знаком «–». Если к узлу подходит ветвь с источником тока, то его ток войдет в узловой ток со знаком «+», если он направлен к узлу, или со знаком «–», если от узла.
В рассматриваемой схеме (см. рис.1.19) В результате расчёта системы получим значения потенциалов всех узлов (
) и по ним найдём значения токов в ветвях по закону Ома: Ток I7 в исходной схеме с источником тока (см. рис.1 .16) получим по первому закону Кирхгофа: I7 = I2 – J .
1.6.4. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ Метод наложения основан на принципе наложения (суперпозиции): ток в любой ветви сложной цепи при действии всех источников равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых в этой ветви каждым из источников в отдельности.
Таким образом, исходная сложная электрическая цепь может быть разбита на ряд простых, получаемых путем последовательного исключения из схемы всех источников кроме одного.
При исключении источников они удаляются из схемы, а на их месте остаются только их внутренние сопротивления. Соответственно, на месте идеального источника ЭДС остается закороченный участок, а на месте идеального источника тока – разрыв. В полученных простых цепях рассчитываются частичные токи во всех ветвях от действия каждого источника в отдельности, а действительные токи ветвей исходной сложной цепи находятся как алгебраическая сумма соответствующих частичных токов.
При применении метода наложения к цепи (см. рис.1.16) последовательность действий выглядит следующим образом: исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е3 (замыкаем его зажимы) и источник тока J2 (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС Е2; исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е2
Метод прямого применения законов Кирхгофа. Решение задачи 26 ноября 2020324 прочитали700 просмотров публикацииУникальные посетители страницы324 прочитали до концаЭто 46% от открывших публикацию1,5 минута — среднее время чтенияДанный метод основан на составлении уравнений по двум законам Кирхгофа.
Теорию законов, вернее правил Кирхгофа, мы рассмотрели в одной из предыдущих статей, где я подробно писал о том, сколько в общем уравнений составляется по двум правилам Кирхгофа, как правильно считать это количество. Сколько уравнений составляется по первому правилу Кирхгофа, по второму. Какие нужны формулы для определения количества уравнений, а также то как можно определить количество уравнений, не пользуясь формулами.
Ссылка на статью .Для каждого независимого узла электрической цепи составляются уравнения по первому правилу Кирхгофа (узловые уравнения), для каждого независимого контура электрической цепи составляются уравнения по второму правилу Кирхгофа (контурные уравнения).Сегодня рассмотрим пример с источниками напряжения (ЭДС)Рисунок 1 — Исходная схема цепиДля начала вводим токи.
Выберем их условно положительные направления (в простых цепях с одним источником энергии, мы точно можем видеть на схеме цепи, куда будет направлен тот или иной ток, т. е. его положительное направление, а в сложных цепях, содержащих два и более источников энергии, это сделать не всегда возможно, так как все источники энергии ЭДС/тока действуют в разных направлениях и иногда компенсируют друг друга.
В таких цепях мы выбираем условно положительное направление токов. В ветви с ЭДС, ток нужно направлять так, чтобы он совпадал с действием источника, но это не обязательно.Рисунок 2 — Исходная схема цепи с введенными токами ветвей, обходами контуров и обозначениями узловДалее нужно определить количество независимых узлов и контуровКоличество ветвей: Nв=3;Количество узлов: Nу=2;Тогда по первому правилу Кирхгофа составим уравнения по следующей формуле:N1зк=Nу-1=2-1=1По второму правилу Кирхгофа:N2зк=Nв-(Nу-1)=3-(2-1)=2Для случая цепи с источником тока, формула по второму правилу Кирхгофа немного отличается.
Подобный пример, но с источником тока и ЭДС, мы рассмотрим в следующей статье.Таким образом получаем, что в данной цепи один независимый узел и два независимых контура, это мы получили в последних двух формулах. Значит нужно составить всего три уравнения – одно узловое для токов и два контурных уравнения для напряжений.Составляем для узла “а” одно уравнение, считая положительными токи, текущие к узлу:I1+I2-I3=0В данной цепи три неизвестные.
Значит нужно составить всего три уравнения – одно узловое для токов и два контурных уравнения для напряжений.Составляем для узла “а” одно уравнение, считая положительными токи, текущие к узлу:I1+I2-I3=0В данной цепи три неизвестные. Неизвестными являются токи. Для расчета трех неизвестных необходимо иметь три уравнения. Недостающие два уравнения составим по второму правилу Кирхгофа для независимых контуров 1 и 2:Первый независимый контур включает в себя элементы: E1, R1 и R3.
Второй независимый контур элементы E2, R2 и R3.Выбрали направление обхода контуров по часовой стрелке.I1*R1+I3*R3=E1-I2*R2-I3*R3=-E2Теперь объединяем все три уравнения, составленные по правилам Кирхгофа, в систему уравненийРисунок 3 — Система уравнений с тремя неизвестными, составленная для цепи на рисунке 2 Итак, мы получили три уравнения с тремя неизвестными. Решая их любым известным методом, находим токи в ветвях.Главное достоинство данного метода, состоит в том, что уравнения составляются непосредственно для искомых величин (токов) и не требуется нахождение промежуточных или фиктивных параметров.А главный недостаток, это составление большего числа уравнений в сравнении с остальными методами расчета сложных электрических цепей.Рассмотрим три способа решения данной системы.Решение системы уравнений с тремя неизвестными вручную, и зададимся значениями сопротивлений и ЭДС.Е1=150 (В); Е2=250 (В);R1=10 (Ом); R2=15 (Ом); R3=20 (Ом);Сразу подставим числа вместо резисторов и ЭДСРисунок 4 — Решение системы уравнений вручную, изображенной на рисунке 3Решение системы с тремя неизвестными с помощью программы маткадРисунок 5 — Решение системы уравнений с помощью программы маткад, изображенной на рисунке 3Представим данную систему с тремя неизвестными в виде матрицы 3 на 3 и методом обратной матрицы, решим ее так же в программе маткадРисунок 6 — Решение системы уравнений, представленной в виде матрицы с помощью программы маткад, изображенной на рисунке 3Таким образом, решить систему уравнений с несколькими неизвестными можно разными способами, в том числе и с использованием компьютерных программ.Если понравилась статья, и не пропускайте новые публикации.Читайте также:1.
2.
Задачи на правило Кирхгофа с решением Мы уже писали про , а также параллельное и последовательное соединение проводников. Но это были цветочки. Сегодня разберемся с задачами посложнее: посмотрим, как решаются задачи на правила Кирхгофа. Не забывайте подписаться на наш : там вас ждут актуальные новости сферы образования, полезные лайфхаки и для студентов.
Как решать задачи по правилу Кирхгофа? Прежде, чем приступать к решению задач, обязательно изучите . Также мы подготовили для вас универсальную по решению физических задач.
Задача №1 на эквивалентные преобразования соединений проводников. Условие Преобразуйте схему с помощью эквивалентных преобразований.
Решение Кроме основных формул для , существуют формулы для преобразования звезды резисторов в эквивалентный треугольник и наоборот.
Треугольник резисторов R2 R3 R4 можно преобразовать в эквивалентную звезду RB RB RD по формулам: Преобразованная схема будет выглядеть следующим образом: Ответ: см. выше. Правила Кирхгофа применяются для сложных цепей(например, для цепей с несколькими источниками питания), когда эквивалентные преобразования не приносят результата. Задача №2 на первое правило (закон) Кирхгофа Условие Необходимо составить уравнения по первому закону Кирхгофа для следующей цепи: Решение В данной цепи 4 узла.
По первому закону составляем 3 уравнения (на 1 уравнение меньше, чем количества узлов): Ответ: см. выше. Для решения задач на правила Кирхгофа необходимо уметь решать .
Для решения сложных систем удобно использовать специальные программы: MathCad, и т.д. Далее для наглядности рассмотрим задачу с более простой схемой.
Задача №3 на правила Кирхгофа Условие Два источника питания E1=2В и E2=1В соединены по схеме, показанной на рисунке. Сопротивление R=5 Ом. Внутреннее сопротивление источников одинаково и равно r1=r2=1 Ом. Определить силу тока, который проходит через сопротивление.
Решение По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю (токи обозначим произвольно): Выберем направление обхода верхнего контура против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа, сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС: Запишем то же самое для второго контура, обходя его по часовой стрелке: Объединим уравнения с неизвестными токами в систему: Чтобы решить систему, выразим силу тока I1 из второго уравнения, а силу тока I2 – из третьего: Первое уравнение теперь можно записать в виде: Выражая искомый ток и подставляя значения из условия, получаем: Ответ: 1,5 А. Задача №4 на правила Кирхгофа Условие Дана схема электрической цепи.
VIDEO
Необходимо:
обозначить сопротивления, над каждой ветвью указать свой ток и источники ЭДС;
указать на схеме направления токов и ЭДС;
составить уравнения по первому и второму закону Кирхгофа.
Решение Приведем схему, обозначив сопротивления, ЭДС и токи: В схеме 7 токов и 4 узла.
Необходимо составить 4 – 1 = 3 уравнения по первому закону Кирхгофа и 7 – 3 = 4 уравнения по второму закону Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа: Второй закон Кирхгофа (выбранные контуры К1, К2, К3, К4 указаны на рисунке): Ответ: см. выше. Задача №5 на правила Кирхнофа Условие Определить все токи в ветвях, составив систему уравнений по законам Кирхгофа.
Параметры цепи: E1 = 40 В, E2 = 50 В, E3 = 60 В, R01 = 0,1 Ом, R02 = 0,3 Ом, R03 = 0,2 Ом, R1 = 4,4 Ом, R2 = 4,7 Ом, R3 = 4,6 Ом, R4 = 5,2 Ом, R5 = 7,6 Ом. Решение Направления токов в ветвях цепи и направления обхода контуров указаны на схеме.
Цепь содержит 3 узла и 3 независимых контура. Таким образом, для расчета токов в ветвях необходимо составить два уравнения по первому закону Кирхгофа и три по второму: Подставим числовые значения и решим систему уравнений: Ответ: I1=10,68 А; I2=8,388 А; I3=7,192 А; I4=4,9 А; I5=2,292 А.
Вопросы на правила Кирхгофа Вопрос 1. Сформулируйте первый закон Кирхгофа.
Ответ. Первый закон Кирхгофа связан с сохранением заряда и формулируется следующим образом: Для любого узла электрической цепи алгебраическая сумма токов ветвей, подключенных к данному узлу, равна нулю. Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда, согласно которому ни в какой точке заряды не могут безгранично накапливаться: количество электричества, притекающее к данной точке за определенный промежуток времени, должно быть равно количеству электричества, оттекающему от неё.
Вопрос 2. Как следует выбирать направления токов в ветвях электрической цепи? Ответ. Направления токов во всех ветвях электрической цепи задаются произвольно до составления уравнений.
Токи, входящие в узел, принято считать положительными, а выходящие из узла – отрицательными. Вопрос 3. Как формулируется второй закон Кирхгофа? Ответ. Второй закон Кирхгофа связан с законом сохранения энергии и формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма всех ЭДС контура электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений и алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках.
Вопрос 4. Что следует учитывать при составлении уравнений второго закона Кирхгофа для цепи и ее конкретного контура.
Ответ. Перед составлением уравнений второго закона Кирхгофа для цепи необходимо произвольно выбрать направления токов во всех ветвях цепи и определить направление обхода контура. При составлении уравнения для конкретного контура учитываются:
токи, входящие в узлы принимаются положительными;
ЭДС источников принимаются положительными, если
направления их действия (стрелка) совпадает с выбранным направлением обхода (независимо от направления тока в них);
падения напряжений в ветвях (IkRk) принимаются положительными, если положительное направление тока совпадает с выбранным направлением обхода;
напряжения Uk, включенные в контур, принимаются положительными, если эти напряжения создают ток, направленный также как и направление обхода (направление напряжения, определяемое стрелкой, совпадает с направлением обхода).
Вопрос 5.
Что такое эквивалентные преобразования последовательного и параллельного соединения пассивных элементов?
Ответ. Задачей эквивалентного преобразования последовательного и параллельного соединения пассивных элементов, является последовательное упрощение исходной схемы и нахождение эквивалентного сопротивления схемы. Нужна помощь в решении задач и других студенческих заданий?
Профессиональный окажет оперативную помощь с выполнением любой работы.
Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа Содержание: Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь.
Уравнения, составленные согласно этим законам, называют уравнениями Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи. Он формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:
В уравнении (3.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком.
Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус. Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима.
В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю.
Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно
, где
— число узлов цепи. Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи: Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю: Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет — знак минус.
Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть.
Уравнение (3.2) примет вид В соответствии с последним равенством алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников. Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров.
Число таких контуров определяется формулой
, где
— число ветвей.
Возможно вам будут полезны данные страницы: 1. Необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей.
Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента.
Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом.
Полярности напряжений резисторов выбирают согласованными с направлениями токов.
Направления токов источников напряжения выбирают совпадающими с направлениями ЭДС. 2. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для
узлов.
3. Выбираем направления обхода контуров и записываем уравнения по законам Кирхгофа.
Сопротивление проводника, соединяющего элементы, очень мало по сравнению с сопротивлением резистора и игнорируется. Ячейки внутренней цепи удобно выбирать в качестве независимых цепей. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так, чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.
4. Решаем полученную систему уравнений и определяем токи и напряжения цепи.
5. После определения токов и напряжений необходимо выполнить проверку.
Для этого вычисленные значения переменных подставляют в одно из уравнений, составленных по законам Кирхгофа. При составлении уравнений в качестве неизвестных рассматривают либо токи, либо напряжения резистивных элементов. В первом случае уравнения цепи составляют относительно неизвестных токов резистивных элементов и напряжений на источниках тока.
Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения по второму закону Кирхгофа, выражают через токи по закону Ома.
Такой способ составления уравнений называют токов ветвей.
Число совместно решаемых уравнений в методе токов ветвей можно сократить, если контуры выбирать так, чтобы они не включали источники тока. В этом случае неизвестными будут только токи резистивных элементов, и по второму закону Кирхгофа достаточно составить
уравнений, где
— количество источников тока. Во втором случае уравнения цепи составляются относительно напряжений резистивных элементов и токов источников напряжения.
Токи резисторов представляют произведением проводимости на напряжение на резисторе. Этот способ составления уравнений называют методом напряжений ветвей. В дальнейшем для решения задач мы будем использовать в основном метод токов ветвей.
Пример 3.1. Записать уравнения Кирхгофа для цепи, показанной на рис.
3.1. Решение. Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы.
Неизвестными являются токи резистивных элементов
. Поэтому необходимо составить пять уравнений. Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения.
Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно двум.
Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3.
Контуры I и II выберем так, чтобы они не включали источник тока, иначе в системе уравнений появится дополнительная переменная — напряжение источника тока. Направления обхода контуров выберем совпадающими с направлением движения часовой стрелки. В результате получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными токами: Узел 1:
; Узел 2:
; Узел З:
; Контур I:
Контур II:
Для решения системы уравнений целесообразно использовать математические пакеты, например MathCAD или Matlab.
Напряжение на зажимах источника тока можно затем найти, записав уравнения для контуров, включающих
или
Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 3.2. Номиналы элементов:
,
Решение.
Сначала выберем направления токов резистивных элементов и пронумеруем узлы. В рассматриваемой схеме шесть неизвестных токов
, следовательно, необходимо составить шесть независимых уравнений.
Цепь содержит четыре узла; это означает, что по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения. Еще три уравнения составим по второму закону Кирхгофа.
Наличие источника тока учитывалось при определении числа уравнений по второму закону Кирхгофа.
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3. Уравнения по второму закону Кирхгофа запишем для контуров I, II, III.
Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке. В результате получим систему из шести уравнений с шестью неизвестными токами:
В матричной форме записи:
Решением системы уравнений являются следующие значения токов:
Знак минус в численных значениях токов означает, что направление токов при заданных условиях выбрано навстречу истинному.На странице -> собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).
Услуги:
Законы Кирхгофа — формулы и примеры использования Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач.
Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах. Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда.
Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю. где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис.
1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0 Рис. 1 В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.
Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока. Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii, Ri – ток и сопротивление i-й ветви. Рис. 2 Так, для замкнутого контура схемы (рис.
2) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4 Замечание о знаках полученного уравнения: 1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура; 2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.
Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.
Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b, следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.
Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только (y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга. Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов.
Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1.
Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.
Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис.
3). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.
Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3, также три уравнения. Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис.
4). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке. Рис. 3 Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.
Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.
Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.
Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а=0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1, ?b = ?к + Е1, ?с = ?b — I2R2, ?d = ?c — Е2, ?a = ?d + I3R3 = 0 При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5). Рис. 5. Потенциальная диаграмма Законы Кирхгофа в комплексной форме Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только .
Первый закон Кирхгофа:
«алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»
Второй закон Кирхгофа: «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Ранее на эту тему: / Что читают другие? Подписывайтесь на наш канал в Telegram! Просто пройдите и подключитесь к каналу.
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети: Школа для электрика в Facebook:
Законы Кирхгофа — подробное и понятное объяснение на примерах , поэтому контур 3 считается независимым.Получается, что все ветви “заняты”.
Тогда контур 2 независимым уже не будет, поскольку в него не входят ветви или ветвь ранее не входящую в другие контура. Все ветви вошли в ранее независимые контуры 1 и 3.В цепи на рисунке 9, в общем случае, три ветви, два узла и два независимых контура.
Общее количество уравнений по законам(правилам) Кирхгофа составляется столько, сколько ветвей в схеме цепи за вычетом количества ветвей, где есть источник тока (именно источник тока, а не ЭДС).
В нашей схеме нет источников тока, следовательно, составляются три уравненияпо законам Кирхгофа. Теперь осталось определить, сколько уравнений нужно составить по первому и второму законам Кирхгофа. Общее количество уравнений будет три.
Формула для определения количества уравнений по первому закону Кирхгофа следующая:N1з.к.=Ny-1, где Ny – количество узлов.Ny=2, тогдаN1.з.к.=Ny-1=2-1=1Т. е. по первому закону Кирхгофа составляется одно уравнение для данной цепи, а общее количество уравнений – три. Таким образом, мы получаем, что по второму закону Кирхгофа нужно составить два уравнения.
Или для определения количества уравнений по второму закону Кирхгофа есть формула:N2.з.к.=Nв-(Ny-1), где Nв – количество ветвейNв=3, тогда:N2.з.к.=3-(2-1)=2По второму закону Кирхгофа составляется два уравнения. Составим систему, состоящую из трех уравнений. Одно уравнение по первому закону Кирхгофа (это уравнение составляется для любого узла a или b) и двух уравнений по второму закону Кирхгофа для двух любых независимых контуров, например, составим для контуров 1 и 2.Рисунок 10 — Система уравнений для схемы цепи, изображенной на рисунке 9Неизвестными в данной системе являются токи I1, I2 и I3.
